整数やその性質に関する学問. 代数学の一分野.
📝整数(Z)
自然数(N)
正の整数.
個数もしくは順番を表す一群の数の集まり、もしくはその個々の数（例えば 3 や 18）のこと
素数(Prime)
2以上の自然数で、正の約数が 1 とその数自身のみであるもののこと
合成数
奇数
偶数
負の整数
0より小さい実数
負の歴史
借金の計算で発展. 負債の表現方法.
- 古代中国： 中国では紀元前から「負の数」の概念が存在
- 古代ギリシャ: マイナスの概念は否定され続けました。目に見える数のみを扱う
- インド： 7世紀頃、インドの学者ブラフマグプタが四則演算に負の数の概念を取り入れ、体系立てたルールを作りました
- ヨーロッパ： マイナスの概念は長い間受け入れられず、17世紀頃まで否定
初等整数論
他の分野の数学的手法を使わずに問題に取り組む、数論の中で最も基礎的な土台をなす。
- フェルマーの小定理
- オイラーの定理
- 平方剰余の相互法則
代数的整数論
👨ガウス(1777-1855)が創始者.
扱われる対象は整数というよりも代数的整数である。従って、代数的な整数論と読むよりも代数的整数の論と読む方が正しいと考えられる。
- 体論はこの分野の基礎的根幹であって、ガロア理論は基本的な道具である。
- 代数体のアーベル拡大の統制を記述する類体論も、この分野の大きな成果
- 元来の岩澤理論もここに分類
解析的整数論
微積分や複素関数論等の解析学的手法を用いて問題に取り組む。この分野は初めて解析的な手法を系統的に数論に応用したペーター・グスタフ・ディリクレに始まるとされる。
🇫🇷ピエール・ド・フェルマー(1607-1665)
- 数論の父.
- 📓パスカルとフェルマーの往復書簡から確率論が生まれた(1654年)
- デカルトとは別に、📐解析幾何学を構想.
📐フェルマーの最終定理
📐三平方の定理の一般系.
3以上の自然数 n について、xn + yn = zn となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理.