確率論まとめ
確率論とは
偶然現象に対して数学的な模型（モデル）を与え、解析する数学の一分野.
- 不連続関数を未来予測する. cf. 🎓解析学
⚖確率論の関連分野
確率論体系
🎓組合せ論
組み合わせ数学, 組合せ論, combinatorics.
集合や順序、配置などの組み合わせに関する学問.
🎲場合の数
あることが置きうる場合の総数. 📝MECE
📝順列
Permutation.
📝組合せ
Combination, choice.
相異なる（あるいは区別可能な）いくつかの要素の集まりからいくつかの要素を（重複無く）選び出す方法.
cf. 📝直積集合
🎲確率
物事が発生する度合い, probability.
🎲条件付き確率
ある事象Bが起こるという条件の上での事象Aの確率.
🎲期待値
expected value.
確率変数のとる値に, 対応する確率をそれぞれ掛けて加えた値.
🎲大数の法則
たくさん実験すればデータの平均は真の平均に近づくという法則.
🎲中心極限定理
Central Limit Theorem.
大数の法則によると, ある母集団から無作為抽出された標本平均はサンプルのサイズを大きくすると真の平均に近づく.
中心極限定理は標本平均と真の平均との誤差を論ずるものである. 多くの場合, 母集団の分布がどんな分布であっても, その誤差はサンプルのサイズを大きくしたとき近似的に正規分布に従う.
- サンプル数を多くしても, 平均は変化しない
- サンプル数を多くすると, 標準偏差, 標準誤差は小さくなる
📈確率分布
marginal distribution.
確率変数の各々の値に対してその起こりやすさ全体を表したもの.
確率分布は値に確率を対応させる関数 (離散的な, Categorical)
A marginal distribution is the distribution of data “in the margin” of a table. It may also be described as the distribution of the data for a single variable.
📈同時分布
同時分布(joint distribution), 同時確率分布、結合確率分布、結合分布.
複数の確率変数の組を確率要素とする確率分布.
📈正規分布
正規分布(Normal Distribution).
平均値の付近に集積するようなデータの分布を表した連続的な変数に関する確率分布.
確率変数 X が N (μ, σ 2) に従う時, 平均 μ からのずれが
- ± 1 σ 以下の範囲に X が含まれる確率は 68.27%
- ± 2 σ 以下だと 95.45%,
- ± 3 σ だと 99.73% となる.
データが正規分布にしたがうとき, 以下の 2 つの統計量が役に立つ
- Mean: 平均
- Standard Deviation: 標準偏差
📈ポアソン分布
ポアソン分布, ある期間で事象が発生する回数(頻度)をあらわす離散確率分布.
事象を説明するとき, サンプルが大きく確率が小さい状態でよく当てはまる.
✅ポアソン分布で珍しい事象の発生確率を予測できる
まれに発生する事象とその発生確率というのがポアソン分布で与えられることがよく知られている.
- コールセンターに１時間当たりかかってくる電話の数
- 某交差点で１日当たりに事故が起こる回数
- あるコンビニに１日当たりに来る客数
✨日常の仮説思考で平均と標準偏差から異常と判断する基準を素早く決める
📐コンサルの分析の基本はクイック&ダーティーという話題にポアソン分布を絡めれば, 日常でも簡単な平均と分散の足し算で素早く仮説を構築するさいの材料となり得る.
雑な皮算用計算でも素早くすればそれら思考の役に立つ. 雑だからといって, 何の根拠もないよりかは確からしさがよい.
💡ポアソン分布とヒューマンエラー
人為的ミス, ヒューマンエラーはまれに発生する.
工場やソフトウェア開発の品質管理のトピックにおいて, 作業ミスの発生確率にポアソン分布が利用されることがある.
📈確率過程
stochastic process.
時間とともに変動する偶然現象を記述するための数学モデル.
株価や為替の変動, ブラウン運動などのランダムな運動を数学的に記述するモデル.
- 確率過程 - Wikipedia
- 👨ゴスケ: 確率過程, マルコフの専門家といえばこの人.
弱定常過程
平均、分散、📊自己相関が時間シフトに対して不変.
線形確率過程
📝マルコフ性
その過程の将来状態の条件付き確率分布が、現在状態のみに依存し、過去のいかなる状態にも依存しない性質. マルコフ性のある確率過程をマルコフ過程.
- マルコフ連鎖（状態変数の取り得る値が離散的なもの）
- 連続時間マルコフ過程
📝マルチンゲール
Martingale.
過去の情報に制限して計算した期待値と未来の期待値が同一になる性質.
確率過程の性質の一つで重要概念.
カジノなどのギャンブルで行われている取引手法でマーチンゲール法がありそこから命名されたらしいが, 確率論のなかではマルチンゲールと表記される.
🚶ブラウン運動
浮遊する微粒子が不規則に運動する現象.
🚶ランダムウォーク
次に現れる位置が確率的に無作為（ランダム）に決定される運動.
cf. 🚶ブラウン運動
金融理論
株価の値動きの予測不可能制を説明する理論.
- 📝テクニカル分析は猿のダーツ投げ.
🌐確率論的システム
stochastic
Examples
- サイコロ
- LLM
- ブラウン運動
確率性
同じ入力でも毎回出力が変わる（temperature）
ブレーズ・パスカル
- 確率論の創始.
パンセ パスカル
「あきらかに、人間は考えるために造られている。それは彼のすべての尊厳で あり、彼のすべての価値である。彼のすべての義務は、考えるべきように考えることで ある。ところで、思考の順序は、自己から始めること、又自己の創造者と自己の目的か ら始めることである。」(146)
・「思考が人間の偉大をなす。」(346)
・「人間は自然のうちで最もひ弱いひとくきの葦にすぎない。しかしそれは考え る葦である。・・・・」(347)
・「考える葦。・・・・空間によって宇宙は私を包み、一つの点として私を呑む 。思考によって、私は宇宙を包む。」
📚現代坐禅講義 - 只管打座への道 - 藤田一照(2012)