図形. 空間や形状に関する学問. Geometry.
- 🎓リベラルアーツのひとつ.
- 測量や建築から発展.
- 古典美学の理論. 🎓プロポーション理論
<2025-09-04 Thu 20:02> 応用数学科はこれは習わなかった分野だ.
Index
Concepts
不変量（Invariant）
- 変形しても変わらない性質
- 位相幾何学：オイラー標数、ホモロジー群
- 微分幾何学：曲率
「本質」を捉える道具
対称性（Symmetry）
- 図形の変換で保たれる性質
- 群論との接続
- 結晶構造、物理法則の根底
距離・計量（Metric）
- 「近さ」の定義
- ユークリッド距離、リーマン計量、情報幾何の発散
- 空間の「形」を決定する
次元（Dimension）
- 自由度の数
- 高次元空間での直観の限界と突破
連続性と位相（Topology）
- 「つながり」と「穴」
- ホモトピー、基本群
- ゴムのように変形しても保たれるもの
📐ユークリッド幾何学
直感的に納得できる空間の在り方に基づく幾何学.
- 平面や歪みのない空間の図形の性質を探求する
エウクレイデス（ユークリッド）
古代エジプトのギリシア系・哲学者である
📚ユークリッド - 原論
Euclid.
- まず、点や線などの基礎的な概念に対する定義を与える。
- 次に、一連の公理を述べ、公理系を確立する。
- そして、それらの上に500あまりの定理を証明する。
なんと数式はでてこない！論理的な言葉で記述されている.
📐初等幾何学
非ユークリッド幾何学
曲面や歪んだ空間の図形を探求する
台形
S = (a+b)/2 * h
📐三平方の定理
ピタゴラスの定理. 数学史上最も有名な定理の一つ. 中3
a^2 + b^2 = c^2
📐円周角の定理
同じ弧に対する円周角は、どこで測っても全て等しい、そして中心角の半分になるという定理
相似
- 中3
- タレス（紀元前6世紀）は、影の長さの比を使ってピラミッドの高さを測定した.
📐ベクトル(Vector)
大きさと方向を同時にもつ量.
- 幾何学、最終兵器. どんな図形問題も、代数の世界に置き換えてとけるようになる.
📐位相幾何学(topology)
トポロジー
図形を構成する点の連続的位置関係のみに着目してその性質を研究する学問
- 幾何学から「距離」という構造を取り払い、「近さ・つながり」というより抽象的な構造だけを残した分野.
- 大学数学
オイラーの多面体定理
頂点-辺+面=2
メビウスの輪
代名詞.
📐解析幾何学
いわゆる関数グラフ.
📈デカルト座標(xy座標)
- xy座標を使って図形と代数を結びつけた.
- 方程式のグラフという発想が生まれ、代数と幾何が統一された.
代数幾何学
微分幾何学
🎓情報幾何学
情報理論に統計ではなく、幾何学を持ち込んだ.
フィッシャー情報量
甘利俊一
🌲フラクタル
全体と一部分が相似な図形.
- フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念
- 数学的定義は難しい. 雰囲気？
🌲自己相似性
自己相似性（self-similarity）
スケール（拡大・縮小）を変えても同じようなパターンが繰り返し現れる性質のこと. フラクタル特性.
- 海岸線: 地図を拡大しても、ギザギザした形状が似たパターンで続く
- 木の枝分かれ: 大きな枝も小さな枝も、同じような分岐パターンを持つ
- 雲の形: どのスケールで見ても、似たような複雑さがある
解析手法
Topics
💡幾何学の本質的な力は「構造を見抜く」 こと
見えないものを見る.
- 高次元データの構造を低次元で可視化（多様体学習、t-SNE）
- 代数的な問題を図形的に解釈して本質を掴む